ソロー・モデルの枠組みで考える。\(t\) 期の産出量を\(Y_{t}\)、資本ストックを\(K_{t}\)、労働人口を\(L_{t}\) とすると、マクロ的生産関数は以下のように与えられる。
\(Y_{t}=K_{t}^{\frac{1}{2}} L_{t}^{\frac{1}{2}}\)
また、労働人口の成長率は\(2\) ％ であり、\(t\) 期の投資を\(I_{t}\) とすると、資本ストックは以下のように遷移する。
\(K_{t+1}=0.9K_{t}+I_{t}\)
さらに、投資\(I_{t}\) は以下のように与えられる。
\(I_{t}=0.36Y_{t}\)
このとき、定常状態における資本労働比率\(\left(\frac{K_{t}}{L_{t}} \right)\)として最も妥当なのはどれか。
1． 2
2． 3
3． 4
4． 9
5． 16
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正答 4
定常状態では資本ストックの成長率\(\frac{ΔK}{K}\)と労働人口の成長率（自然成長率）は等しくなる。
資本ストックの成長率は、覚えていれば\(\frac{ΔK}{K}=\frac{sy}{k}-δ\)で示されるから、それに必要な値を代入すればよい。
※\(s\):貯蓄率＝\(0.36\)、\(y\):一人当たり産出、\(k\):資本労働比率、\(δ\):減価償却率＝\(0.1\)
覚えていない場合は、与えられた式から作ることになる。
\(K_{t+1}=0.9K_{t}+I_{t}\) より、両辺から\(K_{t-1}\)を引いて
\(K_{t+1}-K_{t}=-0.1K_{t}+I_{t}\) 両辺を\(K_{t-1}\)で割って
\(\frac{K_{t+1}-K_{t}}{K_{t}}=-0.1+\frac{I_{t}}{K_{t}}\)
\(ΔK=K_{t+1}-K_{t}\)とおき、また\(I_{t}=0.36Y_{t}\)より
\(\frac{ΔK}{K_{t}}=\frac{0.36Y_{t}}{K_{t}}-0.1\)
ここで、資本労働比率（一人当たり資本ストック）\(\frac{K}{L}\)を\(k\)、一人当たり産出\(\frac{Y}{L}\)を\(y\)とおくと、\(\frac{Y}{K}=\frac{y}{k}\)だから
\(\frac{ΔK}{K_{t}}=\frac{0.36y_{t}}{k_{t}}-0.1\)
ここで、一人当たり産出\(y=\frac{Y_{t}}{L_{t}}=\frac{K_{t}^{\frac{1}{2}}L_{t}^{\frac{1}{2}}}{L_{t}}=\left(\frac{K_{t}}{L_{t}}\right)^{\frac{1}{2}}=k^{\frac{1}{2}}\) だから、資本ストックの成長率に代入して
\(\frac{ΔK}{K_{t}}=0.36k_{t}^{-\frac{1}{2}}-0.1\)
定常状態では、これが自然成長率0.02に等しいので
\(0.36k_{t}^{-\frac{1}{2}}-0.1=0.02\)
\(0.36k_{t}^{-\frac{1}{2}}=0.12\)
\(k_{t}=9\)