ある消費者は、1 期から3 期までの各期においてＸ財を消費する。この消費者の各期における予算制約式は以下のように与えられる。
1 期：\(p_{1}x_{1}+s_{1} ≦ m_{1}\)
2 期：\(p_{2}x_{2}+s_{2}≦（1 +r_{1}）s_{1} +m_{2}\)
3 期：\(p_{3}x_{3}≦（1 +r_{2}）s_{2}+m_{3}\)
ここで、\(x_{t}\) は\(t\) 期（\(t\)=1，2，3）におけるＸ財の消費、\(s_{t}\) は\(t\) 期における貯蓄、\(m_{t}\) は\(t\) 期における所得、\(p_{t}\) は\(t\) 期におけるＸ財の価格である。また、\(r_{t}\) は\(t\) 期（\(t\)=1，2）から\(t+1\) 期にかけての利子率である。
以上の三つの式から、消費と所得の割引現在価値についての1 本の式（異時点間の予算制約式）を導くことができる。その式として最も妥当なのはどれか。
1 \(p_{1}x_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{1+r_{2}}≦m_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{m_{3}}{1+r_{2}}\)
2 \(p_{1}x_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{1+r_{1}+r_{2}}≦m_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{m_{3}}{1+r_{1}+r_{2}}\)
3 \(p_{1}x_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{1+r_{1}r_{2}}≦m_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{m_{3}}{1+p_{1}r_{2}}\)
4 \(p_{1}x_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{1+r_{1}(1+r_{2})}≦m_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{m_{3}}{1+r_{1}(1+r_{2})}\)
5 \(p_{1}x_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}≦m_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{m_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}\)
正答 5
2期の価格を1期の価格で示すには、両辺を\(1+r_{1}\)でわる。
\(\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{s_{2}}{1+r_{1}}≦s_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}\)
次に3期の価格を１期に直すには、2期分の利子率で割り引く。すなわち\((1+r_{1})×(1+r_{2})\)でわる。
\(\frac{p_{3}x_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}≦\frac{s_{2}}{1+r_1}+\frac{m_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}\)
第1期の予算制約式と、第1期価格に直した第2期、第3期の予算制約線の右辺、左辺のそれぞれを足すと、
\(p_{1}x_{1}+s_{1}+\frac{p_{2}x_{2}}{1+r_{1}}+\frac{s_{2}}{1+r_{1}}+\frac{p_{3}x_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}\)
\(≦m_{1}+s_{1}+\frac{m_{2}}{1+r_{1}}+\frac{s_{2}}{1+r_1}+\frac{m_{3}}{(1+r_{1})(1+r_{2})}\)
これを整理すると正答を得る。