ある枚数のシールがある。これを各自が同じ枚数になるように分けていき，同じ枚数に分けられないものについては誰にも分けずに余りとする。3 人で分けると2 枚余り， 4 人で分けると3 枚余り， 5 人で分けると4 枚余った。このとき，確実にいえることとして最も妥当なのはどれか。
1．シールの総枚数は偶数である。
2． 3 人で分けたとき，各自が受け取った枚数は奇数である。
3． 4 人で分けたとき，各自が受け取った枚数は奇数である。
4． 5 人で分けたとき，各自が受け取った枚数は偶数である。
5． 6 人で分けたとき，各自が受け取った枚数は偶数である。
畑中敦子の初級ザ・ベストNEO 数的推理/資料解釈 |高卒程度・社会人向け
正答 2
3,4,5で割り切れるためには、１枚足りない数がシールの枚数である。この数は3,4,5の公倍数から1引けば得ることができる。3,4,5の最小公倍数は60であるので、シールの枚数は自然数ｎを用いて
60n-1
と示すことができる。
- 誤り。60ｎは必ず偶数なので、そこから1を引いた数は必ず奇数となる。
- 正しい。3人で分けた場合には2枚余るので、3人で分けた枚数は60ｎ-1-2＝60ｎ-3である。これを3で割ると一人が受け取った枚数がわかり、それは20ｎ-1となる。20ｎは必ず偶数である。偶数から1を引いた数は必ず奇数となる。
- 誤り。4人で分けると3枚余ることより、4人で分けた枚数は60ｎ-1-3＝60ｎ-4となる。これを4人で分けると一人当たりの枚数は15ｎ-1となる。15ｎは偶数の場合も奇数の場合もあるので、一人当たりの枚数は偶数の場合も奇数の場合もある。
- 誤り。5人で分けると4枚余ることより、5人で分けた枚数は60ｎ-1-4＝60ｎ-5となる。一人当たりの枚数は、これを5で割れば求められるので12ｎ-1となる。12ｎは必ず偶数なので、そこから１を引いた数は必ず奇数となる。
- 誤り。60n-1は、6で割りきるためには1不足する（小さい）数である。逆に言うと、60n-1を6で割ると、5余ることになる。したがって、4人で分けた枚数は60n-1-5＝60n-6であり、一人当たりの枚数は、これを6で割った10ｎ-1となる。10ｎは必ず偶数であるので10n-1は奇数である。