Ａ～Ｅの5 人が，図のようなトーナメント方式でじゃんけんを行った。このとき，トーナメント全体で，あいこを含めてちょうど5 回のじゃんけんで優勝者が決定する確率はいくらか。
ただし，Ａ～Ｅの参加者は全て同じ確率でグー，チョキ，パーを出すものとする。
- \(\frac{16}{81}\)
- \(\frac{32}{243}\)
- \(\frac{64}{243}\)
- \(\frac{128}{729}\)
- \(\frac{160}{729}\)
正答 ３
このトーナメントでは、優勝者が決まるまでには全部で4試合が行われる。5回のジャンケンで優勝者が決まるのは、４試合のうち一つだけがあいこになる時である。
一回で勝敗が決まる確率は両者が違う手を出す場合である。ジャンケンで、2人の手の組み合わせは３×３＝9通りであり、どちらかが勝つ場合は6通りなので、勝負がつく確率は\(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)
あいこが出る確率は、3通りであるので、確率は\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)
1回目があいこで、2回目に勝負がつく確率は、\(\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{2}{9}\)
題意を満たすには4試合のうち、3試合が一度で勝負が付き、ひと試合があいこのあと勝負がつくことになり、その確率は
\(\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{9}×4=\frac{64}{243}\)