図Ⅰのように，底面が一辺の長さ3 の正方形で高さが5 の直方体の容器を水平面上に置き，その中に，互いに接する半径1 の2 個の球Ａ，Ｂを，球Ａは底面及び二つの側面に接し，球Ｂは球Ａと接していない二つの側面に接するように置いた。図Ⅱは，これを真上から見た図である。
このとき，球Ｂの最も高い位置の，底面からの高さはいくらか。
- \(1+\sqrt{3}\)
- \(2+\sqrt{2}\)
- \(2+\sqrt{3}\)
- \(1+2\sqrt{2}\)
- \(4\)
正答 2
図Ⅱより、AB 間の平面上へ投影した距離を求める。（ A B 間の実際の距離は２）
三平方の定理より、m-A、n-Bの距離は\(\sqrt{2}\)、m-nの距離は\(3\sqrt{2}\)、よってAB間の水平距離（次図のAC）は\(\sqrt{2}\)
ABの距離は２であることより、BCの長さを求める。
三平方の定理より
\(2^{2}=(\sqrt{2})^{2}+BC^{2}\)
\(BC^{2}=2\)
\(BC=\sqrt{2}\)
球Aの中心の位置は直方体の底面から\(１\)の高さにあり、球Bの一番高いところは球Bの中心よりも\(１\)高いので、求める高さは\(2+\sqrt{2}\)となる。