図のように，一辺の長さが6 cm の正方形の頂点Ａ，Ｂ，Ｃから動点Ｐ，Ｑ，Ｒがそれぞれ同時に出発し，点Ｐは毎秒1 cm，点Ｑと点Ｒは毎秒2 cm の速さで矢印の向きに辺上を進む。
点Ｐ，Ｑ，Ｒが出発してから3 秒後までの間で点Ａ，Ｐ，Ｑ，Ｒによって囲まれる斜線部分の面積の最 小値はいくらか。
1． 14 cm2
2． 15 cm2
3． 16 cm2
4． 17 cm2
5． 18 cm2
正答 2
斜線部分の面積は、図の四角形ABCDから白い三つの三角形を引いたものである。
題意を満たすには、三つの三角形の面積の合計が最も大きくなる時を求めればよい。
三つの三角形の面積を\(S\)、それぞれの点が出発してからの時間を\(t\)とすると、
\(2S=(6-t)×2t+(6-2t)×2t+6×(6-2t)\)
\(S=-3t^{2}+6t+18\)
この\(S\)が最大となる\(t\)を求めればよい。微分を知っていれば、微分をすれば求められるが、そうでない場合は、次のように変形すれば求められる。
\(S=-3\{(t-1)^{2}-7\}\)
\(t=1\)のとき\(S\)は最小となり、\(S=21\)となる。
したがって求める面積は、\(36-21=15\)である。