ソローモデルの枠組みで考える。\(t\) 期の産出量を\(Y_{t}\)，資本ストックを\(K_{t}\)，労働人口を\(L_{t}\) とすると，マクロ的生産関数が以下のように示される。
\(Y_{t}=0.2K_{t}^{\frac{1}{2}}L_{t}^{\frac{1}{2}}\)
また，労働人口は\(0.05\) の成長率で増加する。一方，資本ストックは\(t\) 期の投資を\(I_{t}\) とすると，以下のように示される。
\(K_{t+1} = K_{t} +I_{t}\)
なお，資本減耗率はゼロとする。いま，貯蓄率を\(s\) とすると，\(t \)期の投資\(I_{t}\) は以下のように示される。
\(I_{t}=sY_{t}\) \(（s＞0）\)
また，\(t\) 期の消費\(C_{t}\) は以下のように示される。
\(C_{t}=（1 -s）Y_{t}\)
このとき，定常状態の労働人口1 人当たりの消費を最大にする貯蓄率\(s\) の値はいくらか。
1． 0.05
2． 0.1
3． 0.2
4． 0.5
5． 0.8
正答 4
ソローモデルの資本ストックの成長率は、一人当たり産出を\(y=\frac{Y}{L}\)、一人当たり資本ストック\(k=\frac{K}{L}\)とすると
\(\frac{ΔK}{K}＝\frac{sy}{k}-δ\)
で示される。（本問では\(δ=0\)である。)
一方、自然成長率を\(G_{n}\)とし、\(\frac{ΔL}{L}=n\)とすると
\(G_{n}=n+λ\) (\(λ\)は技術進歩率、本問では考慮されていない)
定常状態では、資本ストックの成長率と、自然成長率が等しくなるので
\(\frac{sy}{k}-δ=n+λ\)
\(sy=(n+λ+δ)k\)
本問では、\(δ\)、\(λ\)は考えない、つまりゼロとみなすので
\(sy=nk\)
この時、このとき、定常状態における一人当たり資本ストック\(k\)は次のように決まり、一人当たり消費は図で示した部分となる。
この図において、一人当たり消費が最大になるのは、\(y\)と\(nk\)の傾きが等しくなる水準で、一人当たり資本ストックが決まる時である。（次図の\(k^*\))
したがって、\(sy\)と\(nk\)が\(k^*\)の水準で交わるようにsを定めればよい。（次図の\(s’\)）
まず、\(k^{**}\)の水準を求めるために、\(y\)の傾き、つまり資本の限界生産力を求める。
\(y=\frac{Y}{L}=\left(0.2\frac{K}{L}\right)^{\frac{1}{2}}=0.2k^{\frac{1}{2}}\)
傾きを求めるために、\(y\)を\(k\)で微分すると
\(\frac{dy}{dk}=0.1k^{-\frac{1}{2}}\)
これが\(nk\)の傾き\(n\)に等しいところで\(k^{**}\)は決まるので、
\(0.1k^{-\frac{1}{2}}=n\)
\(n=0.05\)より
\(k=4\)
\(nk＝s’y\) より
\(0.05×4＝s’0.2×4^{\frac{1}{2}}\)
\(s’=0.5\)
したがって正答は4である。