今後80 年間生きるある個人が,これからT 年間働いて退職したときの生涯効用u が以下のように示される。
\(u=C×(80 – T)\)
ここで,C は生涯の支出総額を表し,\(0 ≦T≦80\) である。
この個人が働いている期間は毎年120 の所得が得られ,退職後は毎年40 の年金が得られる。
生涯効用\(u\) が最大となるときの\(T\) はいくらか。
ただし,この個人は現在の資産はなく,また,所得及び年金収入を今後の80 年間のうちに全て支出するものとする。
1. 20
2. 30
3. 40
4. 50
5. 60
正答 1
この個人の支出額Cは、\(C=120T+40(80-T)\)
\(C=80T+3200\)
これを効用関数に代入して
\(u=(80T+3200)×(80-T)\)
\(u=6400T-80T^{2}+3200×80-3200T\)
\(u\)を\(T\)で微分して0とおくと
\(\frac{du}{dT}=3200-160T=0\)
\(T=20\)