ある財を生産する事業者Ａと事業者Ｂから成る複占市場を考える。財の需要量\(q\) と価格\(p\) の関係は以下のように示される。
\(q=12 － p\)
また，両者はいずれも限界費用6 で財を生産するものとし，数量競争を行う。このとき，クールノー・ナッシュ均衡における価格\(p\) はいくらか。
1． 2
2． 4
3． 6
4． 8
5． 10
正答 4
解き方としては両企業の反応関数を作り、連立させることになる。
需要関数は、\(q=12-p\)より、\(p=12-q\)
ここで、事業者Aの生産量を\(q_{a}\)、事業者Bの生産量を\(q_{b}\)とする。均衡では、\(q=q_{a}+q_{b}\)となる。
これを需要曲線に代入して\(p=12-(q_{a}+q_{b})\)
事業者Aの利潤関数を\(π_{a}\)とすると
\(π_{a}=pq_{a}-6q_{a}\) （固定費については不明であるが微分するとすると消えるので問題ない）
より
\(π_{a}=\{12-(q_{a}+q_{b})\}q_{a}-6q_{a}\)
\(π_{a}=12q_{a}-q_{a}^2-q_{a}q_{b}-6q_{a}\)
\(π_{a}\)を\(q_{a}\)で微分して０とおくと
\(\frac{∂π_{a}}{∂q_{a}}=12-2q_{a}-q_{b}-6=0\)
\(6-2q_{a}-q_{b}=0\) 事業者Aの反応関数
費用関数が同じなので、\(q_{a}\)と\(q_{b}\)を入れ替えれば事業者Bの反応関数を求めることができる。
\(6-2q_{b}-q_{a}=0\) 事業者Bの反応関数
事業者Aと事業者Bの反応関数を連立させて、
\(q_{a}=q_{b}=2\)
この時の価格は、需要曲線に代入して
\(p=12-(2+2)=8\)
となる。