２期間（第1 期，第2 期）のライフサイクルモデルを考える。経済主体Ａの効用関数は以下のように示される。
\(U=\ln c_{1}+\ln \left(\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}(c_{2}-c_{1})\right)\)
ここで，\(c_{1}\)，\(c_{2}\) はそれぞれ，第１期，第２期においてこの経済主体が財を消費する量を示している。
また，効用関数\(U \)の第1項\(\ln c_{1}\)は第1期，そして第2項\( \ln \left(\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}(c_{2}-c_{1})\right)=\ln \left(c_{2}-\frac{1}{2}c_{1}\right)\)
は第2 期におけるこの経済主体の効用をそれぞれ表している。
ここで，効用関数は消費の習慣形成仮説に基づいており，第2 期における経済主体Ａの効用は，第２期の消費の絶対的水準c2 だけでなく，第１期の消費を基準とした場合に第２期の消費が持つ相対的水準，つまり第２期の消費と第１期の消費との差c2 -c1 にも依存している。
経済主体Ａは，第１期に所得\(y_{1} =120\) を，そして第2 期に所得\(y_{2}=220\) を得る。
このモデルにおいて，借入制約はなく，お金を貸し借りする際につく金利は10 ％ =0.1 とす
る。また，消費財の価格は常に１であるとする。
経済主体Ａは予算制約の下，効用を最大にするように消費を決めるとする。このときの第1 期
の消費c1 はいくらか。
なお，\(ln x\) は\(x\) の自然対数を示しており，\(\left(\ln f(x)\right)’=\frac{f(x)’}{f(x)}\)である。
1． 90
2． 100
3． 110
4． 120
5． 130
正答 3
予算制約式を作ると
\((120-c_{1})×1.1+220=c_{2}\)より
\(c_{2}=352-1.1c_{1}\)
効用関数より
\(U=\ln c_{1}+\ln \left(\frac{1}{2}c_{2}+\frac{1}{2}(c_{2}-c_{1})\right)\)
\(U=\ln c_{1}+\ln \left(c_{2}-\frac{1}{2}c_{1}\right)\)
これに\(c_{2}\)を代入して
\(U=\ln c_{1}+\ln \left(352-1.1c_{1}-\frac{1}{2}c_{1}\right)\)
\(U=\ln c_{1}+\ln \left(352-1.6c_{1}\right)\)
\(U\)を\(c_{1}\)で微分して０とおくと
\(\frac{U}{c_{1}}=\frac{1}{c_{1}}-\frac{1.6}{352-1.6c_{1}}=0\)
\(3.2c_{1}=352\)
\(c_{1}=110\)