次の文の（ ）に当てはまるものとして妥当なのはどれか。
０期に160の投資を行うと、その期及び１期には収益を得られないが、2期以降は無限にわたって、各期に50の利益を得ることができる投資プロジェクトを考える。
このプレジェクトは金利rの値が、（ ）より小さい時には実行され、（ ）を超えると実行されない。
ただし、金利ｒの値は正であるとする。
１ 0.1
２ 0.15
３ 0.2
４ 0.25
５ 0.3
正答 ４
第n期に受け取る収益の現在割引価値は、\(\frac{50}{(1+r)^{n}}\)と示される。第2期から、毎期50を無期限に受け取ることができるので、その合計を\(X\)とすると、
\(X=\frac{50}{(1+r)^{2}}+\frac{50}{(1+r)^{3}}+\frac{50}{(1+r)^{4}}+・・・+\frac{50}{(1+r)^{n}}\) ・・・①
この\(X\)が160より大きい時は、投資額よりも収益の方が大きいので投資は実行される。したがって、\(X\)が160よりも大きくなるようなrを求めればよい。
①式の両辺に\(\frac{1}{1+r}\)を掛けると、
\(\frac{X}{1+r}=\frac{50}{(1+r)^{3}}+\frac{50}{(1+r)^{4}}+\frac{50}{(1+r)^5}・・・+\frac{50}{(1+r)^{n+1}}\)・・・②
①式から②式を引くと
\(X-\frac{X}{1+r}=\frac{50}{(1+r)^{2}}-\frac{50}{(1+r)^{n+1}}\)
nが十分大きければ最後の項は０とみなせるので
\(X-\frac{X}{1+r}=\frac{50}{(1+r)^2}\)
\(X=\frac{50}{r(1+r)}\)
\(X=160\)を代入して、\(r(>0)\)をもとめると、
\(r=0.25\) を得る。