次の図のように、直線ＳＴに点Ａで接する円Ｏがある。線分ＢＤは円Ｏの直径、弦ＣＤは接線ＳＴに平行である。弦ＡＣと直径ＢＤの交点をＥとし、線分ＡＢの長さが4 ㎝、∠ＢＡＳが30°のとき、三角形ＣＤＥの面積はどれか。
1 \(6cm{2}\)
2 \(6\sqrt{3}cm^{2}\)
3 \(8\sqrt{3}cm^{2}\)
4 \(9\sqrt{3}cm^{2}\)
5 \(12\sqrt{3}cm^{2}\)
正答 2
次のようにAとDを結ぶ
∠BAS=30度より、∠BDA＝30度 （接弦定理）
また、∠BAD＝90度 （円周角の定理）、∠DAT＝60度
よって、∠ABD＝60度、円周角の定理より、∠ACD＝60度
CDとSTが平行であることより、∠DAT＝∠CDA＝60度であるから
∠CDE＝30度、円周角の定理より、∠EAB＝30度、∠DAE＝60度
∠BEA＝90度となる。
ここで、AEの長さは三平方の定理より、
\(2:\sqrt{3}=4:AE\)であるから、
\(AE=2\sqrt{3}\)
三平方の定理より、
\(AE:ED=1:\sqrt{3}\) であるから、
\(ED=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=6\)
よって三角形AEDの面積は、\(6×2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=6\sqrt{3}\)
三角形AEDと三角形CEDは合同なので、三角形CEDの面積も\(6\sqrt{3}\)となる。