ある催し物の出席者用に7 人掛けの長椅子と5 人掛けの長椅子を合わせて30脚用意した。7 人掛けの長椅子だけを使って7 人ずつ着席させると、85人以上の出席者が着席できなかった。7 人掛けの長椅子に4 人ずつ着席させ、5 人掛けの長椅子に3 人ずつ着席させると、67人以上の出席者が着席できなかった。また、7 人掛けの長椅子に7 人ずつ着席させ、5 人掛けの長椅子に5 人ずつ着席させると、出席者全員が着席でき、1 人も着席していない5 人掛けの長椅子が1 脚余った。このとき、出席者の人数として、正しいのはどれか。
- 169人
- 171人
- 173人
- 175人
- 177人
正答 1
出席者の人数を\(n\)人、７人掛けの長椅子の数を\(p\)、５人掛けの長椅子の数を\(q\)とする。
与えられた条件を使って、出席者の人数の範囲を不等式で表すと次のようになる。
\(7p+85≦n\)・・・①
\(4p+3q+67≦n\)・・・②
\(n≦7p+5(q-1)\)・・・③
また、\(p+q＝30\)より、\(q=30-p\)・・・④
①と③、④より
\(7p+85≦n≦7p+5(30-p-1)\) とおけるから
\(7p+85≦2p+145\)
\(5p≦60\)
\(p≦12\)
同様に、②、③、④より
\(4p+3(30-p)+67≦n≦7p+5(30-p-1)\)
\(p+157≦2p+145\)
\(12≦p\)
したがって、\(p=12\),\(q=18\)
①より、\(7×12+85≦n\)
\(169≦n\)
③より、\(n≦7×12+5(18-1)\)
\(n≦169\)
よって、求める人数は169人である。