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2022 特別区 経験者1級職 No.24

次の図のように、1 辺の長さが4 の正方形の外側に、長辺の長さが3 、短辺の長さが1 の長方形がある。今、長方形が矢印の方向に滑ることなく回転し、1 周して元の位置に戻るとき、長方形の頂点Pが描く軌跡の長さはどれか。ただし、円周率はr とする。

1  \((8+\sqrt{3})π\)
2  \((7+\sqrt{10})π\)
3  \((8+\sqrt{10})π\)
4  \((8+2\sqrt{10})π\)
5  \(15π\)

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正答 3

次のように、作図をする。

求める軌跡の長さは、半径が3の円の円周、半径が1の円の円周、半径が長方形の対角線の円の半円の円周の合計となる。

半径が3の円の円周は、\(6π\)
半径が1の円の円周は、\(2π\)
長方形の対角線は、三平方の定理より\(\sqrt{3^{2}+1}=\sqrt{10}\)
したがって、半径を長方形の対角線とする円の円周の2分の1は
\(\frac{2\sqrt{10}π}{2}=\sqrt{10}π\)

よって求める答えはこれらの合計であるから

\((8+\sqrt{10})π\)  となる。

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公務員試験過去問研究
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