次の図のように、1 辺の長さが4 の正方形の外側に、長辺の長さが3 、短辺の長さが1 の長方形がある。今、長方形が矢印の方向に滑ることなく回転し、1 周して元の位置に戻るとき、長方形の頂点Pが描く軌跡の長さはどれか。ただし、円周率はr とする。
1 \((8+\sqrt{3})π\)
2 \((7+\sqrt{10})π\)
3 \((8+\sqrt{10})π\)
4 \((8+2\sqrt{10})π\)
5 \(15π\)
正答 3
次のように、作図をする。
求める軌跡の長さは、半径が3の円の円周、半径が1の円の円周、半径が長方形の対角線の円の半円の円周の合計となる。
半径が3の円の円周は、\(6π\)
半径が1の円の円周は、\(2π\)
長方形の対角線は、三平方の定理より\(\sqrt{3^{2}+1}=\sqrt{10}\)
したがって、半径を長方形の対角線とする円の円周の2分の1は
\(\frac{2\sqrt{10}π}{2}=\sqrt{10}π\)
よって求める答えはこれらの合計であるから
\((8+\sqrt{10})π\) となる。