下図のように、∠ABC=90°の直角三角形ABCと辺ABを直径とする円があり、辺ACと円の交点をDとし、点Bを通り辺ACと平行な直線と円の交点をEとする。点Aと点Eを結んだ線分AEと辺CBをそれぞれ延長した交点をF、点Dと点Eを結んだ線分DEと辺ABとの交点をGとするとき、⊿BEFと⊿BEGの面積の比として、正しいのはどれか。ただし、線分CD=\(3\)cm、点Bと点Dを結んだ線分DB=\(3\sqrt{3}\)cmとする。

⊿BEF:⊿BEG
1 7:1
2 6:1
3 5:1
4 4:1
5 3:1
正答 2
ABが直径であることより、∠ADB=90°、∠AEB=90°
ADとBEが平行であることより∠EBD=90°∠DAE=90°
したがって、円周角の性質よりDEは円の直径であり、Gは円の中心である。
⊿DCBは直角三角形であり、題意よりCD:DB=1:√3であるから、∠DCB=60°、∠DBC=30°となる。したがって、∠EBF=60°、また∠DBC=∠DEB=30°(接弦定理)、
以上より、
⊿BEF∽⊿DBEであり、相似比は\(\sqrt{3}:1\)、面積比は\(3:1\)
⊿BEGの面積は⊿DBEの2分の1なので、
⊿BEF:⊿BEG=\(3:\frac{1}{2}=6:1\)