ある企業は労働と資本からある財を生産しており、その生産関数は以下のように与えられる。
\(Y=8\sqrt{LK}\) \((L>0、K>0)\)
\(Y\):生産量、\(L\):労働投入量、\(K\):資本投入量
賃金率が4、資本のレンタル率が12であるとき、完全競争下で生産した場合の、この企業の長期の総費用関数TCとして最も妥当なのはどれか。
1 \(TC=\frac{\sqrt{3}}{3}Y\)
2 \(TC=\sqrt{3}Y\)
3 \(TC=3\sqrt{3}Y\)
4 \(TC=\frac{\sqrt{3}}{3}Y^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}Y\)
5 \(TC=3Y^{2}+3\sqrt{3}Y\)

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正答 2
題意より
\(TC=4L+12K\)
最適な\(L\)と\(K\)を求める。生産関数がコブ・ダグラス型なので公式より
\(\frac{TC}{2}=4L\)
\(L=\frac{TC}{8}\)
\(\frac{TC}{2}=12K\)
\(K=\frac{TC}{24}\)
\(L\)と\(K\)を生産関数に代入して
\(Y=8\sqrt{\frac{TC}{8}×\frac{TC}{24}}\)
\(Y=8\frac{TC}{\sqrt{192}}=\frac{TC}{\sqrt{3}}\)
\(TC=\sqrt{3} Y\)