次の図のように、半径A O が6 ㎝ の半円がある。今、円弧上に∠CABが15°となる点をC、∠DACが30°となる点をDとするとき、点Aと点C、点Aと点Dをそれぞれ結んだときにできる斜線部の面積はどれか。ただし、円周率はr とする。

1 \(\frac{9}{2}π+9\, cm^2\)
2 \(6π+18-6\sqrt{3}\, cm^2\)
3 \(6π+9\,cm^2\)
4 \(9π\, cm^2\)
5 \(15π-9\, cm^2\)

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正答 3
DABの面積を求めてそこから、CABの面積を引いて求める。

DとBを直線で結ぶと、ABが直径であることより、∠ADB=90°であり、AD=BDなのでDは弧ABの中点である。したがって、DとOを結ぶとAO=DOの直角二等辺三角形となる。
この直角二等辺三角形の面積は\(6×6×\frac{1}{2}=18\)
扇形ODBの面積は、\(6^{2}π×\frac{1}{4}=9π\)
この二つ面積の合計\(18+9π\)からABCの面積を引く。
次のようにOからACに垂線を引き交点をFとする。
またCからBに線を引き、Oから引いた垂線との交点をE、CからABに引いた垂線との交点をGとする。

三角形AFO、三角形CFO、三角形OEC、三角形OEBは合同な三角形である。
ここで、円周角の性質より∠COGは∠CAOの2倍の角であり、∠COGは30°、∠CGO=90°である。
CO=6であるので、三平方の定理よりCG=3
よって三角形COBの面積は\(6×3×\frac{1}{2}=9\)
三角形COBの面積は、三角形AOCの面積と等しいので、三角形AOCの面積は9
また、扇形OCBの面積は、\(6^{2}×π×\frac{1}{12}=3π\)
よって求める面積は
\(18+9π-9-3π=6π+9\)