ある消費者は、一定の所得の下、効用が最大となるようにＸ財とＹ財の消費量を決める。
この消費者の効用関数は以下のように与えられる。
\(u=x +2\sqrt{ y}\)
（\(u\)：効用水準、\(x\)：Ｘ財の消費量、\(y\)：Ｙ財の消費量）\)
ただし、\(x(≧) 0\)、\(y(≧0)\) である。
また、Ｘ財の価格は800 円、Ｙ財の価格は200 円であるとする。
このとき、①所得が4000 円であるときのＹ財の消費量と②所得が3000 円であるときのＹ財の消費量の組合せとして最も妥当なのはどれか。
① ②
1． 16 12
2． 16 15
3． 16 16
4． 18 15
5． 18 16
正答 2
①のとき、予算制約式を作ると
\(800x+200y=4000\)
\(x=50-\frac{1}{4}y\)
効用関数に代入して
\(u=50-\frac{1}{4}y+2\sqrt{y}\)
効用最大化の一階条件より
\(\frac{du}{dy}=-\frac{1}{4}+y^{-\frac{1}{2}}=0\)
\(y=16\)
このとき、\(x=10\)
②のとき
\(800x+200y=3000\)
\(x=\frac{15}{4}-\frac{1}{4}y\)
効用関数に代入して
\(u=\frac{15}{4}-\frac{1}{4}y+2\sqrt{y}\)
効用最大化の一階条件より
\(\frac{du}{dy}=-\frac{1}{4}+y^{-\frac{1}{2}}=0\)
\(y=16\)
このとき
\(x<0\)となるので不適
\(x≧0\)で、\(y\)が最大となるのは、\(x=0\)のとき,\(y=15\)である。