X財とY財を消費する個人の効用関数は以下のように与えられる。
\(u=\frac{1}{16}xy\)
\(u\):効用水準、\(x\):X財の消費量、\(y\):Y財の消費量
ただし、\(x\)＞０, \(y\)>0である。
X財の価格は\(p\)、Y財の価格は\(q\)で表されるとする。この個人が効用水準\(\overline{u}\)を実現するとき、X財の補償需要関数\(x(p,q,\overline{u})\)として最も妥当なのはどれか。
1 \(x(p,q,\overline{u})=\sqrt{\frac{q\overline{u}}{p}}\)
2 \(x(p,q,\overline{u})=2\sqrt{\frac{p\overline{u}}{q}}\)
3 \(x(p,q,\overline{u})=2\sqrt{\frac{q}{p\overline{u}}}\)
4 \(x(p,q,\overline{u})=4\sqrt{\frac{q\overline{u}}{p}}\)
5 \(x(p,q,\overline{u})=4\sqrt{\frac{p\overline{u}}{q}}\)
正答 4
支出関数を作って、それを需要曲線に代入するか、価格\(p\)で微分すれば求められる。
この個人の所得を\(I\)とする。すると公式より、この個人の需要関数（マーシャル）は以下のようになる。
\(x=\frac{I}{2p}\)、\(y=\frac{I}{2q}\)
これを、効用関数に代入して間接効用関数を求める。
\(u=\frac{1}{16}×\frac{I^2}{4pq}\)
\(I\)について解くと
\(I^2=64pq\overline{u}\)
\(I=8\sqrt{pq\overline{u}}\)
これをX財の需要関数に代入するか、\(p\)で偏微分すれば補償需要関数を求めることが出来る。
\(\frac{∂I}{∂p}=4\sqrt{\frac{q\overline{u}}{p}}\)