ある会社の商品の販売単価が2,300円であるとき、年間の販売個数が450,000個であった。この商品の販売単価を10円値上げするごとに年間の販売個数が1,000個ずつ減るとき、年間の売上金額が最大となる販売単価はどれか。
１ 2,300 円
２ 2,410 円
３ 2,750 円
４ 3,400 円
５ 4,430 円
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正答
売上げは、値段×個数である。
\(2300\)円から\(10\)円を\(n\)回値上げしたときの価格は\(2300+10n\)、その時の数量は
\(450000−1000n\)
したがって、
売上＝\((2300+10n)(450000-1000n)\\
=2300×450000-2300×1000ｎ+450000×10n-1000n×10n\)
桁が大きすぎるので\(10000\)で割ったものを売上として整理すると
売上＝\(2300×45+220n-n^2\)
これが最大になるケースを考えればよい。
一番楽な計算としては微分して\(０\)とおく
売上を\(y\)とすると
\(y=2300×45+220n-n^2\)
\(\frac{dy}{dn}=-2n+220=0\)
\(n=110\)
\(110\)回、つまり\(1100\)円値上げした場合、売り上げが最大になるので売り上げを最大にする価格は\(3400\)円である。
※それ以外の解法としては平方完成、選択肢を当てはめて求める、などもある。
平方完成の場合は
\(y=2300×45+220n-n^2\)で\(n\)の係数\(220\)の半分の\(110\)を用いて
\(y=-(n-110)^{2}＋k\)
のようにおけば、かっこの中の\(n-110=0\)となる\(n\)が\(y\)を最大にする\(n\)である